Matematika | Ferenci Tamás honlapja

“A nyüzsgő, mozgó embermilliók életében vannak fontos események, melyeket nem jegyez fel a történelem. Az egyes ember, a hétköznapi ember tettei és szenvedései, születése, megbetegedése és halála nem kerül a történetíró tollára; csak számszerint vétetnek ezek számba a statisztika által. Születnek és meghalnak egyesek folytonos örök körforgásban és a társadalom, az emberiség csak fennmarad. […] Mindezek megfigyelésére ott áll az idők áradatában a statisztikus. […] E jelenségek az embermilliók és intézményeik életjelenségei: a tömegjelenségek. Ezek megfigyelésére hivatott a statisztika. A statisztikus olyan mint a pilóta. Felvisz minket a magasba és megmutatja az embermilliókat. Városaikat, tömegeiket, gazdasági tevékenységüket, forgalmukat, a földeket, az erdőket: egyszerre mindent. Könyveivel, tábláival, rajzaival mindezt lelki szemeink elé tárja. De alaposabban, részletesebben mint a pilóta. Mégis megegyez vele abban, hogy minél magasabbra emelkedünk, minél inkább összevonunk, a részletek annál inkább elmosódnak. Ennek a tudománynak fontos része az egészségügyi statisztika, mely az emberek egészségére vonatkozó tömegjelenségekre vonatkozik. Az ezek megfigyelésének módszereire, a születésekre, különös tekintettel annak az orvost érdeklő pathologiás vonatkozásaira, a megbetegedésekre, az elhalálozásokra, a betegségek gyógyításának eredményességére és veszélyességi fokára, az emberi test méreteire, szervei működésére, az egészségügyi személyzetre, intézetekre és intézményekre. Az orvost is kell, hogy érdekelje a statisztika, különösen az egészségügyi statisztika. Nagy csapások jönnek, járványok sujtják a népességet s az orvosnak ismernie kell a jelenségek súlyát, a közre való fontosságát. […] A gyógyító orvosi munkával az emberiség életében lévő egészségügyi tömegjelenségeknek mindig csak egy kis részletét látjuk. Saját praxisunkban előforduló esetlegességek szerint aztán hol túlozzuk, hol meg lebecsüljük az egyes jelenségeket. […] Az egész tömegjelenségről pontos felvilágosítást csak a statisztika ad […]. Ez ad áttekintést a gyakorlatban individualizáló, mindig csak az egyes eseteket látó orvosnak, a születések, a megbetegedések, az elhalálozások stb. eseményeinek a sok milliós néptömegekben való előfordulása, tömegjelenségei felett. A statisztika persze sok hibában szenved s lelkiismeretlen adatszolgáltatók sok hiányos és téves felvételi lapot szolgáltatnak be. […] Az egészségügyi statisztikát tanuló orvosnak először azokat a felvételi lapokat kell megismernie, amelyekkel a legfontosabb jelenségek számbavétetnek. […] Aztán ismernünk kell a feldolgozás módját s a nyert adatok mathematikai és grafikai megvilágításának útjait. Nagy hasznára lesz az orvosnak is, ha a széltében használt százalékokon és a számtani átlagon kívül a statisztikai megvilágítás némely sajátos fogalmát, pl. a modust, a mediant vagy a standard számítást is megismeri. A statisztika logikájának ismerete nélkül collectiv jelenségeknél nem lehet helyesen következtetni. A statisztikában a következtetés helyességének mathematikai kriteriumai vannak. A statisztikai sorok stabilitásának vizsgálata mondja meg, hogy a nyert átlag típikus-e avagy csak puszta számítási eredmény, jelentőség nélküli szimptomatikus közép. A nagy számoknak már Bernoulli valószínűségszámításából levezethető törvényét ismernünk kell, e nélkül nem tudjuk a különböző százalékok súlyát, jelentőségét mérlegelni, nem értjük egyikük változékony, másikuk állandó voltát. […] A hazai egészségügyi intézmények, de az egészségügyet szolgáló személyzet: orvosok, bábák, gyógyszerészek, halottkémek stb. statisztikáját is érdemes lesz látnunk. Különösen ma, amikor az orvosok megélhetése is mind nehezebb lesz. […] Lélekemelő látni a nagy egészségügyi intézetek hatalmas néptömegek életét meghosszabbító, nagyarányú, áldásos működésének statisztikáját s megismerni fejlődésüket, jelentőségüket. Mindezen tömegjelenségek igen fontosak az orvosra; ebből látja meg, hogy hol, mit és hogyan kell tenni hazánk fejlődése s a nemzet egészségügyének további fejlesztése céljából.”

(Egészségügyi statisztika orvosok és orvostanhallgatók számára. Írta: pol., med. et oec. publ. miniszteri s.-titkár, a M. Kir. Központi Statisztikai Hivatalnál. Budapest, Magyar Orvosi Könyvkiadó Társulat, 1930.)

A valószínűségszámítás és a statisztika alapvonalai

Sun, 28 Feb 2021 00:00:00 +0000

Lineáris algebra

Fri, 24 Mar 2023 00:00:00 +0000

A lineáris algebra – amellett, hogy önmagában is érdekes és izgalmas – az egyik legfontosabb “igásló”, ami a matematikát alkalmazó területeket illeti: a lineáris algebrai eszközök használata a matematika más ágaiban, a műszaki és mérnöki gyakorlatban, a természet- és társadalomtudományok számos területén teljesen alapvető és megkerülhetetlen.

Ez az előadás-sorozat ebbe a témakörbe ad bevezetőt. Fontos célom volt, hogy a megértése ne igényeljen a középiskolai matematikánál mélyebb előismereteket. A matematikailag nehezebb részeket, sőt, a legtöbb helyen a bizonyításokat is átugrom, de arra törekszem, hogy amit elmondok, az precíz legyen, még ha ez nagyobb bonyolultsággal is jár. Összességében azt remélem, hogy az anyag érthető, és más tanulmányokhoz hasznosítható lesz minden nem-matematikus hallgató számára.

Komplex számok

Fri, 18 Mar 2022 00:00:00 +0000

Az emberi számfogalom kiterjesztése természetes folyamat, ami általában ugyanarra a sémára épül: elindulunk egy elemibb fogalomból (pl. természetes szám), definiálunk rajta valamilyen értelmes műveletet (pl. összeadás), majd megállapítjuk, hogy a művelet elvégzésekor, vagy “visszacsinálásakor” kitörünk a korábbi halmazból (nincs olyan természetes szám, amit az 5-höz adva 3-at kapunk). Ekkor kibővítjük a halmazt, úgy, hogy a fenti ne okozzon problémát (az egész számok halmazán már gond nélkül összeadhatunk és kivonhatunk bármit). Aztán a következő szinten megint szembesülünk a problémával (bevezetjük a szorzást, és szeretnénk visszacsinálni, de nincs olyan egész szám, amivel a 15-öt megszorozva 5-öt kapnánk), és a folyamat kezdődik elölről. Ezzel a logikával középiskolában az - ott igazából általában még nem is pontosan definiált - valós szám fogalmához szoktak eljutni. Nekünk azonban szükségünk lesz egy újabb, fentihez hasonló kiterjesztésre, amit az fog motiválni, hogy negatív számoknak nincsen négyzetgyöke a valósak körében. Így jutunk el a komplex számok fogalmához, mely rengeteg matematikai területen – így a statisztikában is – szerephez jut, számos műszaki, mérnöki, közgazdaságtudományi és természettudományi alkalmazáson túl. Megvizsgáljuk a komplex számok fogalmát, a komplex számokkal végezhető műveleteket, függvényeiket és a komplex számok különféle lehetséges alakjait (algebrai, trigonometrikus, exponenciális, ez utóbbi kapcsán megismerjük a nevezetes Euler-formulát). Az egyes alakok más és más művelet elvégzését teszik kényelmesen lehetővé. Megnézzük a komplex számok két alkalmazását: egyrészt, hogy hogyan használhatóak szinusz-szerű függvények (szinuszoidok) reprezentálására, ennek alkalmazási lehetőségeire az ún. rendszerelmélet kapcsán több nagy esettanulmányt is átveszünk, másrészt, hogy miért és hogyan jelennek meg komplex számok algebrai egyenletek megoldásaként (vagy, ami ezzel egyenértékű, polinomok gyökeiként). Zárásként röviden beszélünk a kvaterniókról és az emberi számfogalom végső lezárásáról.

Trigonometria

Wed, 27 Apr 2016 00:00:00 +0000

A szögfüggvényeket (és egyáltalán, a trigonometriát) úgy szokás bevezetni, mint a háromszög különböző oldalaival és szögeivel kapcsolatos összefüggéseket. Most nekünk célszerűbb lesz egy másik - ezzel természetesen teljesen egyenértékű - megközelítés, melyben a szögfüggvényeket úgy értelmezzük, mint egy derékszögű koordináta-rendszerben a vízszintes tengellyel adott szöget bezáró, egységnyi hosszú szakasz vízszintes és függőleges vetületeit (amik természetszerűleg a bezárt szög függvényei). Ehhez elsőként azt kell definiálni, hogy egyáltalán mit értünk szög alatt; utána röviden beszélünk a szögek méréséről is. Ez alapján már megadhatjuk a szögfüggvények pontos definícióját. Ezen függvények jelentőségét nehéz lenne túlbecsülni: gyakorlatilag minden matematikát alkalmazó területen megjelennek. Ennek megfelelően részletesebben beszélünk a legfontosabb tulajdonságaikról, külön kitérve a nevezetes azonosságokon túl a szögfüggvények súlyozott összegére, melyek jelentősége különösen nagy egy sor alkalmazásban. Beszélünk a szögfüggvények deriválásáról és sorfejtéséről; ezen ismeretek lehetővé teszik egy nevezetes, gyakran használt közelítés bevezetését, mely kis szögekre működik jól. Végül, bár technikai kérdésnek tűnhet, beszélünk arról is, hogy a gyakorlatban hogyan lehet, illetve hogyan célszerű a szögfüggvények kiszámítása bizonyos konkrét értékre vagy értékekre.

Az ökonometria alapjai

Tue, 09 May 2023 00:00:00 +0000

A homoszkedaszticitás és sérülése